M = x.√[(2008+y²).(2008+z²)\(2008+x²)] + y.√[(2008+x²).(2008+z²)\(2008+y²)] + z.√[(2008+y²).(2008+x²)\(2008+z²)]

ta có:
2008 + x² = xy + xz + yz + x²
2008 + x² = (x+y).(x+z)
tương tự: 2008 + y² = (x+y).(y+z) và 2008 + z² = (z+y).(x+z)
chỉ việc thay vào rùi rút gọn thui

=> M = x.√[(x+y).(y+z).(x+z).(z+y)\ (x+y).(x+z)] + y.√[(x+y).(x+z).(x+z).(z+y)\(y+x).(y+z)] + z.√[(x+y).(x+z).(y+z).(y+x)\(x+z).(z+y)]

=> M = x.|y+z| + y.|z+x| + z.|x+y|
=> M = 2.2008

Thay \(xy+yz+xz=2018\) ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}2018+x^2=x^2+xy+yz+xz=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\\2018+y^2=y^2+xy+yz+xz=\left(y+z\right)\left(x+y\right)\\2018+z^2=z^2+xy+yz+xz=\left(x+z\right)\left(y+z\right)\end{matrix}\right.\)

Sau đó thay vào lần lượt đề bài là được

Ta có: \(\hept{\begin{cases}\left(x+1\right)^2\ge0\forall x;y\\\left(y-\sqrt{2}\right)^2\ge0\forall x;y\end{cases}}\Rightarrow\left(x+1\right)^2+\left(y-\sqrt{2}\right)^2\ge0\forall x;y\)

\(\Rightarrow\left(x+1\right)^2+\left(y-\sqrt{2}\right)^2+2008\ge2008\forall x;y\)

\(\Rightarrow N\ge2008\forall x;y\)

\(N=2008\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x+1\right)^2=0\\\left(y-\sqrt{2}\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+1=0\\y-\sqrt{2}=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=-1\\y=\sqrt{2}\end{cases}}}\)

Bí

 \(\hept{\begin{cases}\left(x+1\right)^2\ge0\\\left(y-\sqrt{2}\right)^2\ge0\end{cases}}\text{Dấu }=\text{xảy ra khi}\hept{\begin{cases}x+1=0\\y-\sqrt{2}=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\y=\sqrt{2}\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow MinN=2008\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\y=\sqrt{2}\end{cases}}\)

\(M=3.1+\frac{1-\sqrt{2}^2}{1+1}=3+\frac{1-2}{2}=\frac{5}{2}\)

Ta có : 

\(\left(x+1\right)^2\ge0\)\(\left(\forall x\inℤ\right)\)

\(\left(y-\sqrt{2}\right)^2\ge0\)\(\left(\forall y\inℤ\right)\)

\(\Rightarrow\)\(\left(x+1\right)^2+\left(y-\sqrt{2}\right)^2+2008\ge2008\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\left(x+1\right)^2=0\\\left(y-\sqrt{2}\right)^2=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x+1=0\\y-\sqrt{2}=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\y=\sqrt{2}\end{cases}}}\)

Thay \(x=-1\) và \(y=\sqrt{2}\) vào \(M=3x+\frac{x^2-y^2}{x^2+1}\) ta được : \(M=3.\left(-1\right)+\frac{\left(-1\right)^2-\left(\sqrt{2}\right)^2}{\left(-1\right)^2+1}\)

\(M=-3+\frac{1-2}{1+1}\)

\(M=-3+\frac{-1}{2}\)

\(M=\frac{-7}{2}\)

Vậy : +) Giá trị của \(M=3x+\frac{x^2-y^2}{x^2+1}\) tại \(x=-1\) và \(y=\sqrt{2}\) là \(\frac{-7}{2}\)

         +) Giá trị nhỏ nhất của \(P=2008\) khi \(x=-1\) và \(y=\sqrt{2}\)

Chúc bạn học tốt ~ 

x=0 vs y= 1

ok nha

không  bt đúng hay sai

x=0 va y = 1

đúng rồi đó

chúc học tốt

đk của x,y,z là x,y,z\(\ge\sqrt{2014}\) nhé, xin lỗi chép sót đề

post từng câu một thôi bn nhìn mệt quá